Мреже неких геометријских тела

Драги трећаци,ево мрежа неких геометријских тела која можете склопити и олакшати себи решавање стреометријских проблема.

 

http://www.math-salamanders.com/paper-models-for-download.html

 

 

Занимљив сајт

Драги ученици,иако је распуст,треба остати у форми.Пронашла сам изванредан сајт за будуће студенте,па погледајте и ви

 

http://matemanija.com/

 

http://matemanija.com/prijemni/bg-etf.php

Пронаћи ћете задатке и њихова поступна решења ,а ако ви нешто можете некоме помоћи,решите и пошаљите .

 

Пријатан распуст!!!

Пријемни испит за ЕТФ

Задаци са ранијих пријемних испита за ЕТФ на сајту

 

http://prijemni.etf.bg.ac.rs/resenja/

 

 

 

Логаритам

 

Кратак филм о настанку логаритма.Уживајте.

Аналитичка геометрија

 

1.Одреди једначину праве кроз тачку A(2,3), паралелну правој y=3x.

2. Одреди једначину праве кроз тачку A(3,-6), нормалну на праву y=3x.
3. Одреди једначину праве кроз тачку A(1,3),a нормалну на праву 3x-5y+7=0.
4. Одреди тангенс угла између правих 2x-y-5=0 и x-3y-2=0.
5. Одреди једначину праве која пролази кроз пресек правих p:2x+3y-7=0 и q:x+2y-5=0,a нормална је на праву r:x-y+7=0.
6. Одреди једначину праве која пролази кроз пресек правих   p:x-3y+2=0 и q:5x+6y-4=0,a паралелна је правој r:4x+y+7=0.
7. Одреди нормалну пројекцију тачке A(1,2) на праву x+y+1=0.
8. Одреди центар и полупречник кружнице x² + y² – 4y -21 =0 .
9. Одреди једначину тангенте кружнице x² + y² =5 у тачки додира M(1,-2) у сегментном облику.

10.Одреди одстојање центра кружнице x² +y² + 2x -6y +6 =0 од координатног почетка .

11. Одреди тангенте елипсе x² + 4y² =100 ,повученe из тачке A(2,7).
12. Одреди полуосе елипсе ( 2a и 2b) ако су задате њене тангенте 3x-2y-20=0 и x+6y-20=0.
13. Одредити једначину тангенте елипсе x² + 4 y² =20 нормалне на праву 2x-2y-13=0.
14. Одреди тангенте елипсе 9 x² + 16 y² =144 паралелне правој x+y-1=0.
15. Нацртати криву 4 x² + 9 y² = 36 ,одредити фокусе,директрисе и ексцентрицитет
16. Одредити једначину хиперболе, ако су познате њене тангенте 5x-6y-16=0 и 13x-10y-48=0.
17. Одреди пресек праве 2x-y-10=0 и хиперболе 5x²-20y²=100. Под којим углом се секу ова хипербола и права?
18. Одредити једначине тангенти повучених из тачке A(1,0) на хиперболу 2 x² -9 y² =18.
19. Нацртати хиперболу 16 x² – 25 y² = 400,одредити фокусе,ексцентрицитет,директрисе и асимптоте.
20. Одредити дужину тетиве коју права x-y+4=0 одсеца на хиперболи 9 x² – y² =144.
21. Нацртати криву x²-y²=4, одредити фокусе,ексцентрицитет,директрисе и асимптоте.
22. Одреди пресек праве 4x-3y-16=0 и криве 16 x² -25 y² = 400.
23. Одреди дужину тетиве коју на параболи y² =6x одсеца права 3x-2y-6=0.
24. Ако тачка M(x,y) припада IV квадранту,а тангента параболе y²=16x у тачки M гради  угао од 135° са x-осом,колико je x + y ?

25.Одреди једначину параболе,ако је позната једначина једне њене тангенте :3x+2y+3=0.

26. Одреди тангенту параболе y²=4x у њеној тачки A(1,2).
27. Нацртати криву y²=8x,одредити фокус и директрису.

 

Два дивна задатка за децембар

У одељењу М31 смо радили уписане и описане сфере полиедара  и обртних тела и посебно издвајамо 2 прелепа задатка.Јесте да се мало дуже раде,али задовољство након израде је непроценљиво.

 

1.Ако се основне ивице горње и доње основе правилне четворостране зарубљене пирамиде односе као а:b=m:n,одреди однос запремина уписане лопте ове зарубљене пирамиде  и саме зарубљене пирамиде.

2.Ако су полупречници описаних кружница доње и горње основе правилне тростране зарубљене пирамиде 20 cm и 24 cm,а висина те зарубљене пирамиде је H=22 cm,одреди полупречник описане сфере те зарубљене пирамиде.

 

Уживајте!

Ваљак

 

 

ВАЉАК

1.Површина правог ваљка је P= 112 π  cm ²  ,a дужине полупречника основе и висине ваљка  су у односу 2:5.Одреди запремину датог ваљка.

2.Виснина ваљка је за 10 cm већа од полупречника основе,а површина ваљка је       144 π cm ²   .Израчунај дужине полупречника основе и висине датог  ваљка.

3.Површина  правог ваљка је  8 π  cm ²   ,а полупречник основе једнак је висини ваљка.Израчунај запремину датог ваљка.

4.Омотач ваљка има површину 72 π  cm ²   ,а обим основе је 12 π cm..Одреди површину и запремину датог ваљка.

5.Обим осног пресека правог ваљка је 20 cm,а површина тог пресека је 16 cm ² .Израчунај површину и запремину датог ваљка.

 

 

Задаци из теме Полиедри

 

 

ЗАДАЦИ ЗА ЗАГРЕЈАВАЊЕ  

КВАДАР

1.Просторна дијагонала квадра има дужину D=21 cm,a дужине основних ивица се односе као  a:b:c=2:3:6.Израчунај површину квадра.

2.Обим основе квадра је 14 cm,ивица c=12 cm,а дужина просторне дијагонале је D=13 cm.Израчунај површину и запремину квадра.

3.Дужине основних ивица квадра се односе као а:b:c= 3:4:12,а дужина просторне дијагонале је D=26 cm. Израчунај површину и запремину квадра.

4.Основне ивице квадра су a=20 cm,b=15 cm.Дијагонални пресек ивицом c је квадрат.Одреди  површину и запремину квадра.

5. Основне ивице квадра су a=3 cm,b=4 cm.Дијагонални пресек ивицом c је квадрат. Одреди дужину ивице c.
6. Обим основе квадра је 42 cm. Дијагонални пресек квадра је квадрат површине 225 cm² . Одреди површину и запремину квадра.

7.Површине страна квадра се односе као 3:6:10.Запремина датог квадра је 150 cm ³  .Одреди дужине основних ивица датог квадра.

О математици

Математика тражи рад,труд,упорност,самопрегор,истрајност,љубав према њој,челичну вољу и само један проценат способности и успех неће изостати.

Но,зар нас ово чуди?

Зар нас ово плаши?

Да ли је то само у математици?

Бетовен је свирао од своје четврте године и упорним радом у седамнаестој задивио свет!

План додатног рада од 1. до 4. разреда

ДОДАТНИ РАД

I разред

(30 часова годишње)

1. Елементи математичке логике (6)

Искази и исказне формуле. Логичне операције, исказне формуле. Веза скуповних и логичких операција. Квантори. Основни логички закони. Доказ у математици; грешке у доказивању. Релације и графови.

2. Елементарна тсорија бројева – одабрани задаци (6)

Дељивост, прости бројеви. Еуклидов алгоритам. Конгруенције. Диофантове једначине (линеарне).

3. Полиноми (8)

Идентичне трансформације полинома, метод неодређених коефицијената. Дељивост полинома, Безуова теорема. Доказивање неједнакости.

4. Рационални алгебарски изрази, једначине и неједначине (5)

5. Апсолутна вредност броја и примене (4)

Једначине, неједначине и функције са апсолутним вредностима.

6. Системи линеарних једначина и неједначина (5)

Системи линеарних једначина и неједначина с више непознатих, примене. Решавање проблема линеарног програмирања (геометријски приступ, појам о симплекс-методу).

7. Равне геометријске фигуре (6)

8. Одабрани доказни и рачунски задаци. Вектори н њихова примена.

9. Једнакост многоуглова (4)

Разложива и допунска једнакост многоуглова. Бољаи-Гервинова теорема. Резање и састављање равних фигура – одабрани задаци.

10. Геометријске конструкције у равни (8)

Разне методе решавања конструктивних задатака (примена изометријских трансформација, сличности, ГМТ и др.). Конструкције при ограничењима (само лењиром, само шестаром, недоступне тачке).

11. Инверзија (4)

12. Аполонијев проблем додира (4)

Десет Аполонијевих конструктивних задатака о додиру кружница.

13. Елементи топологије (4)

Графови и неке њихове примене. Тополошке инваријанте. Род површи. Ојлерова формула и неке њене примене. Историјски осврт.

 

14. Логички и комбинаторни задаци (5)

Разни начини решавања логичких задатака (укључујући и апарат исказне алгебре). Пребројавање коначних скупова.

15. Одабрани задаци за такмичења из математике (6)

Задаци који су по свом садржају изван наведених тема.

II разред

(30 часова годишње)

1. Квадратне једначине, функције н неједначине (4)

 

2. Нелинеарне Диофантове једначине (4)

 

3. Ирационални алгебарски изрази, једначине и неједначине (4)

 

4. Експоненцијални и логаритамски изрази, једначине и неједначине (4)

 

5. Проблеми екстремних вредности (6)

Елементарне алгебарске методе решавања проблема екстремних вредности. Решавање неких проблема геометријским конструкцијама. Изопериметријски проблем.

6. Реални бројеви (4)

Разни приступи у заснивању реалних бројева, операције с реалним бројевима, приближна рачунања.

7. Геометријске конструкције у простору (5)

Праве, равни и углови у простору. Паралелна, ортогонална и централна пројекција; перспектива. Приказивање просторних фигура цртежом у равни. Конструкције пресека тела.

8. Одабрана поглавља тригонометрије (8)

Тригонометријски изрази, једначине и неједначине.

Примене тригонометрије (решавање троугла, у другим областима, у пракси).

9. Логичко-комбинаторни и слични нестандардни задаци (4)

(нпр. Дирихлеов принцип, комбинаторна геометрија и др.).

10. Рачуноводство (8)

Слободан избор садржаја.

11. Одабрани задаци за математичка такмичења (5)

Задаци који су по свом садржају изван наведених тема.

III разред

(30 часова годишње)

1. Полиедри, правилни полиедри; тетраедар (6)

Коса слика, пресеци и симетрија полиедра. Правилни полиедри. Разни задаци о тетраедру, Питагорина теорема у простору.

2. Обртна тела. Комбинована тела (4)

 

3. Математичка индукција. Низови (6)

Математичка индукција. Аритметички низ, геометријски низ. Гранична вредност низа. Неке сумационе формуле.

4. Рекурентне формуле и неке њихове примене (4)

Задавање низа рекурентном формулом, Фибоначијев низ. Простије диференцне једначине.

5. Разне примене вектора (4)

Примене вектора у геометрији, алгебри, тригонометрији и др.

6. Метод координата. Функције и графици (8)

Координате на правој, Декартов координатни систем у равни, други координатни системи. Општа идеја координата. Трансформације координатних система, примене. Важније функције и њихови графици, рационална функција, функције с апсолутним вредностима. Графичко решавање једначина и неједначина, графичко решавање задатака линеарног програмирања. Примена метода координата на испитивање једначина и неједначина с параметрима. Формирање једначина геометријских места тачака у равни. Координатни метод у решавању геометријских задатака.

7. Комплексни бројеви и полиноми (6)

Комплексни бројеви: операције, геометријска интерпретација, тригонометријски облик. Муаврова формула. Ојлерова формула. Полиноми с комплексним коефицијентима, основна теорема алгебре, Вијетове формуле. Неке примене комплексних бројева.

8.Системи једиачина и неједначина другог или вишег реда (4)

 

9. Конусни пресецн (6)

Конусни пресеци: геометријски и аналитички приступ.

10. Сферна геометрија (8)

Геометрија сфере. Тригонометрија сфере, површина сферног троугла. Примене у астрономији, картографији, навигацији и др.

11. Математика у применама (4)

Разне примене математике (зависно од струке): грађевинарство, геодезија, електротехника, машинство, саобраћај, пољопривреда и шумарство, финансије и осигурање, уметност, итд,

12. Логичко-комбинаторни задаци (4)

Разни нестандардни и „главоломни“ задаци (проблеми куглица, математичко-шаховске „главоломије“, разне математичке игре, криптографија и др.).

13. Одабрани задаци за математичка такмичења (6)

Задаци који су по свом садржају изван наведених тема.

IV разред

(30 часова годишње)

1. Математнчке структуре (4)

Бројеви и операције, општи појам операције; појам математичке структуре, примери. Групе геометријских трансформација. Појам о аксиоматском методу.

2. Развој и врсте геометрија (4)

Постанак геометрије. Разне геометрије: еуклидске и нееуклидске геометрије, афина и пројективна геометрија.

3. Кратак преглед историје математике (8)

 

4. Функције у природи и техници (4)

Оптерећење и савијање греде, силе трења, радиоактивни распад материје, спуштање падобраном, атмосферски притисак и мерење висине барометром, количина горива за ракету, хармонијске осцилације, клатно, пригушене осцилације, плима и осека, спектрална анализа.

5. Извод и интеграл (8)

Извод и примене извода. Интеграл и примене интеграла. Универзална формула (Симпсонова формула). Најпростије диференцијалне једначине и њихова веза са интегралом, геометријска интерпретација. Диференцијалне једначине у физици, техници и др.

6. Непрекидност (4)

Непрекидне функције (геометријски и аналитички смисао). Примена на решавање једначина и неједначина. Непрекидна пресликавања, тополошка пресликавања.

7. Нумеричке методе (5)

Израчунавање вредности израза; коначне разлике, примене. Одређивање приближних решења једначина: графичком методом итерације и др.

8. Елементи комбинаторике и вероватноће (8)

Основна правила комбинаторике. Варијације, пермутације, комбинације. Биномни образац и неке његове примене. Вероватноћа и њено израчунавање, условна вероватноћа, геометријска вероватноћа. Бернулијева схема и др.

9. Елементи теорије информација и основни кибернетике (5)

Информациони системи (зависно од струке).

10. Математика у применама: елементи математичког моделирања (6)

Појам математичког модела. Линеарно и динамичко моделирање. Мрежно планирање. Емпиријски модели. Модели система масовног опслуживања. Моделирање диференцијалним једначинама (примери из праксе).

11. Елементи теорије игара (4)

Појам игре и стратегије игре. Цена игре, матрица игре. Принцип минимакса. Основна теорема теорије игара. Примери.

12. Одабрани задаци за математичка такмичења (4)

Задаци који су по свом садржају изван набројаних тема.

НАПОМЕНА: У сваком разреду треба обрадити 6-8 тема (по избору наставника), зависно од подручја рада и струке, односно програма наставе. Назначени број часова за поједине теме је оријентациони и може се повећати (смањити) за 1 или 2 часа.